Etkileşimli Silindir Dersi

• Temel Elemanlar
• Açınım
• Yüzey Alanı
• Hacim
• Dikdörtgeni Döndürme
• Karınca Problemleri
• Günlük Yaşam Problemleri
• Genel Değerlendirme Testi

Silindirin Temel Elemanları

Mimarlık öğrencisi Ayşe, tasarlayacağı modern bir kütüphane için silindir şeklinde bir okuma kulesi çizmeye karar veriyor. Bu kulenin sağlam ve dengeli olması için temel geometrik özelliklerini doğru anlaması gerekiyor. Silindir, uzayda birbirine hem eş hem de paralel konumda bulunan iki düzlemsel bölgenin (genellikle daire) karşılıklı tüm noktalarının, bu düzlemlere dik bir doğrultu boyunca hareket eden bir doğru parçasıyla birleştirilmesiyle oluşan geometrik bir cisimdir. Eğer bu birleştirme işlemi taban düzlemlerine dik doğrularla yapılırsa, elde edilen cisme dik dairesel silindir denir ki Ayşe'nin kulesi de tam olarak bu şekilde olacak.

Temel Elemanlar

• Tabanlar: Ayşe'nin kulesinin zemini ve tavanı gibi düşünebileceğimiz, birbirine eş ve paralel iki dairedir.
• Taban Yarıçapı (r): Bu taban dairelerinin her birinin merkezinden kenarına olan uzaklığıdır, kulenin genişliğini belirler. (Mavi çizgi)
• Yükseklik (h): Kulenin zemini ile tavanı arasındaki dik mesafedir, yani kulenin ne kadar yüksek olacağını gösterir. (Kırmızı kesikli çizgi)
• Ana Doğru: Kulenin duvarlarını oluşturan, alt tabandaki bir noktayı üst tabandaki tam karşılığına birleştiren dik çizgilerdir. Dik silindirde bunların uzunluğu yüksekliğe eşittir.
• Eksen: Kulenin tam ortasından geçen, alt taban merkezini üst taban merkezine birleştiren hayali çizgidir. Dik silindirde eksen, yüksekliğe diktir ve onunla aynı uzunluktadır. (Kırmızı kesikli çizgi)
• Yan Yüzey: Kulenin dairesel duvarını oluşturan eğri yüzeydir.

Not: Ayşe'nin tasarımı gibi, genellikle "silindir" dendiğinde tabanlara dik olan dik dairesel silindir anlaşılır.

Pekiştirme Testi: Temel Elemanlar

1. Bir mühendis, aşağıdaki SVG diyagramında gösterilen silindir şeklindeki bir su tankının tasarımını inceliyor. Tankın alt ve üst yüzeylerini oluşturan birbirine eş ve paralel geometrik şekiller, mühendisin hacim hesaplaması için kritik öneme sahip. Bu temel parçalara geometride verilen özel isim nedir ve tankın genel yapısını nasıl tanımlarlar? Bu parçalar olmadan bir silindirden bahsedilebilir mi?

Yan yüzeyler; silindirin eğimli kenarlarını oluştururlar ve olmadan da silindir olabilir. Tabanlar (Daireler); silindirin alt ve üst sınırlarını belirlerler ve silindirin tanımı için zorunludurlar. Eksenler; silindirin merkezinden geçerler ve sadece dik silindirlerde bulunurlar. Ana doğrular; tabanları birleştirirler ve silindirin yüksekliğini verirler, olmasalar da olur.

2. Bir marangoz, sipariş üzerine silindir şeklinde bir ahşap sütun yontuyor. Müşteri, sütunun hem sağlam hem de estetik görünmesi için "ana doğrularının" tabana tam olarak dik olmasını istiyor. Marangoz, sütunun yüksekliğini ölçtüğünde 120 cm buluyor. Bu durumda, sütunun yan yüzeyini oluşturan ve tabanlar arasındaki karşılıklı noktaları birleştiren ana doğrulardan herhangi birinin uzunluğu kaç cm olmalıdır?

60 cm, çünkü ana doğru her zaman yüksekliğin yarısıdır. 120 cm'den fazla, çünkü eğimli dururlar. 120 cm, çünkü dik dairesel silindirde ana doğru uzunluğu yüksekliğe eşittir. Yarıçapa bağlı olarak değişir, yükseklikle doğrudan ilişkisi yoktur.

3. Bir şehir planlamacısı, parkın ortasına yerleştirilecek silindir şeklindeki bir anıtın temelini hazırlatıyor. Anıtın tam merkezden dik olarak yükselmesi için alt taban dairesinin merkezi ile üst taban dairesinin merkezini birleştiren hayali bir çizginin tam olarak belirlenmesi gerekiyor. Bu çizgi, aynı zamanda anıtın simetri merkezi işlevini görecek. Geometride bu önemli çizgiye ne ad verilir?

Ana Doğru Yarıçap Taban Çevresi Eksen

4. Arkeologlar, antik bir yerleşim yerinde silindir şeklinde, taştan yapılmış bir sütun parçası buluyorlar. Sütunun üst kısmı kırılmış ancak alt tabanı sağlam. Alt tabanın mükemmel bir daire olduğu ve merkezinden kenarına olan mesafenin 30 cm olduğu ölçülüyor. Arkeologlar, sütunun orijinal boyutlarını tahmin etmeye çalışırken bu ölçümü kullanıyorlar. Bu 30 cm'lik ölçüm, silindirin hangi temel elemanına karşılık gelir?

Yükseklik (h) Ana Doğru Taban Yarıçapı (r) Eksen Uzunluğu

5. Bir oyuncak üreticisi, çocukların içine küçük bilyeler atabileceği, üstü açık, silindir şeklinde plastik kaplar tasarlıyor. Kapların taban çapı 10 cm olarak belirleniyor. Üretici, kabın ne kadar geniş olduğunu ifade etmek için teknik çizimde yarıçap değerini kullanmak istiyor. Bu durumda, çizimde belirtilmesi gereken taban yarıçapı (r) değeri kaç cm olmalıdır?

10 cm 5 cm 20 cm $10\pi$ cm

6. Bir inşaat mühendisi, köprü ayağı olarak kullanılacak devasa beton silindirlerin projesini çiziyor. Projede, silindirlerin alt taban düzlemi ile üst taban düzlemi arasındaki dikey mesafenin tam olarak 15 metre olması gerektiği belirtiliyor. Bu kritik ölçü, silindirin hangi temel elemanını ifade etmektedir ve neden bu kadar önemlidir?

Taban Çapı; silindirin genişliğini belirler. Eksen; silindirin merkezini gösterir ama uzunluğu önemli değildir. Yükseklik (h); silindirin ne kadar uzun olduğunu ve taşıma kapasitesini etkiler. Ana Doğru; yan yüzeyin uzunluğudur ve yükseklikten farklı olabilir.

7. Bir sanatçı, metal levhaları bükerek silindir şeklinde heykeller yapıyor. Heykelin yan yüzeyini oluşturacak levhayı kesmeden önce, taban çevresini bilmesi gerekiyor. Eğer yapacağı silindirin taban yarıçapı 50 cm ise, yan yüzeyi oluşturacak levhanın silindire sarılacak olan kenarının uzunluğu hangi temel elemana karşılık gelir ve nasıl hesaplanır? ($\pi \approx 3.14$ alınabilir)

Yükseklik; hesaplanamaz, sanatçı belirler. Taban Alanı; $\pi r^2$ ile hesaplanır. Taban Çevresi; $2\pi r$ ile hesaplanır. Eksen; $r$ cinsinden ifade edilemez.

8. Aşağıdaki SVG diyagramında bir silindirin farklı kısımları harflerle gösterilmiştir. 'K' ile gösterilen ve silindirin dairesel alt ve üst yüzeyleri arasında kalan, eğimli yüzeyi oluşturan kısmın adı nedir? Bu kısım, silindir açıldığında hangi geometrik şekle dönüşür ve bu dönüşüm yüzey alanı hesaplamalarında neden önemlidir?

Taban (L veya M); açıldığında daire kalır, alan formülü $\pi r^2$'dir. Eksen; açılımı yoktur, sadece bir çizgidir. Yan Yüzey (K); açıldığında dikdörtgene dönüşür, alanı ($2\pi rh$) toplam alana eklenir. Ana Doğru; açılımı yoktur, sadece bir çizgidir.

9. Bir pastacı, üç katlı bir düğün pastasının orta katını silindir şeklinde yapmayı planlıyor. Bu katın yüksekliği 15 cm ve taban çapı 30 cm olacak. Pastanın yan yüzeyini krema ile kaplamadan önce, bu yüzeyin geometrik adını ve temel ölçülerini (yükseklik ve yarıçap) bilmesi gerekiyor. Bu silindirik katın temel elemanlarından hangisi krema kaplanacak alanı doğrudan etkilemez?

Yükseklik (15 cm) Taban Yarıçapı (15 cm) Yan Yüzey Eksen

10. Bir kimya öğrencisi, laboratuvarda deney yapmak için silindir şeklinde bir dereceli kap kullanıyor. Kabın üzerindeki işaretler sayesinde içindeki sıvının hacmini ölçebiliyor. Ancak kabın geometrisini tam olarak anlamak istiyor. Kabın iki taban dairesinin tam merkezlerini birleştiren ve tabanlara dik olan doğru parçasına ne ad verilir ve bu elemanın uzunluğu genellikle silindirin hangi diğer temel elemanının uzunluğuna eşittir?

Çap; Yarıçapa eşittir. Ana Doğru; Yarıçapa eşittir. Eksen; Yüksekliğe eşittir. Çevre; Yüksekliğe eşittir.

Silindirin Açınımı

Ambalaj tasarımcısı Can, üreteceği silindir şeklindeki karton kutular için malzeme hesaplaması yapmak zorunda. Bunun için silindirin yüzeyini oluşturan parçaları düz bir zemine yaydığında nasıl bir şekil ortaya çıkacağını, yani silindirin açınımını gözünde canlandırması gerekiyor. Bir dik dairesel silindirin açınımı, aslında oldukça basit geometrik şekillerden meydana gelir: iki adet birbirinin aynısı daire (bunlar silindirin tabanlarıdır) ve bu daireleri birleştiren eğri yüzeyin açılmasıyla oluşan bir dikdörtgen (bu da yan yüzeydir).

Açınımın Özellikleri

• Tabanlar: Can'ın kutusunun alt ve üst kapakları olan, yarıçapı $r$ olan iki eş dairedir.
• Yan Yüzey (Dikdörtgen): Kutunun gövdesini oluşturan ve açıldığında dikdörtgen olan kısımdır.
  • Bu dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu, kutunun yüksekliği ($h$) kadardır.
  • Dikdörtgenin diğer kenarının uzunluğu ise çok önemlidir: Bu kenar, kutu kapatıldığında taban dairesinin etrafını tam olarak sardığı için, uzunluğu taban dairesinin çevresine ($2\pi r$) eşittir.

Örnek: Can, taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 15 cm olan bir silindir kutu tasarlıyor. Bu kutunun açınımını oluşturan dikdörtgen şeklindeki yan yüzey parçasının boyutları ne olmalıdır?

Dikdörtgenin bir kenarı, kutunun yüksekliği kadardır: $h = 15$ cm.

Dikdörtgenin diğer kenarı, kutunun taban çevresi kadardır: $Çevre = 2\pi r = 2\pi (5) = 10\pi$ cm.

Can'ın kesmesi gereken dikdörtgen kartonun boyutları $15$ cm ve $10\pi$ cm olmalıdır.

Pekiştirme Testi: Silindirin Açınımı

1. Bir terzi, silindir şeklinde bir şapka yapmak için kumaş kesmektedir. Şapkanın tepe ve alt kısmını oluşturan dairesel parçaları kestikten sonra, şapkanın yan tarafını oluşturacak kumaş parçasını kesmesi gerekiyor. Bu yan parçanın düz bir zemine serildiğinde hangi geometrik şekli alacağını ve bu şeklin kenar uzunluklarının şapkanın hangi boyutlarıyla ilişkili olduğunu bilmesi gerekiyor. Doğru şekil ve ilişki nedir?

Şekil Karedir; kenarları şapka yüksekliğine eşittir. Şekil Daire'dir; yarıçapı şapka yarıçapına eşittir. Şekil Dikdörtgen'dir; kenarları yükseklik (h) ve taban çevresidir ($2\pi r$). Şekil Elips'tir; boyutları yükseklik ve çapa bağlıdır.

2. Bir öğrenci, proje ödevi için kartondan bir silindir modeli yapıyor. Modelin taban yarıçapını 4 cm olarak ölçüyor ve yüksekliğini 10 cm olarak planlıyor. Silindirin yan yüzeyini oluşturacak karton parçasını kesmeden önce, bu parçanın boyutlarını hesaplaması gerekiyor. Bu dikdörtgen şeklindeki kartonun kenar uzunlukları tam olarak ne olmalıdır? ($\pi$ değerini hesaplamanıza gerek yok).

4 cm ve 10 cm $16\pi$ cm ve 10 cm $8\pi$ cm ve 10 cm $8\pi$ cm ve $16\pi$ cm

3. Bir reklam ajansı, silindir şeklindeki promosyon kutularının yan yüzeylerine yapıştırılmak üzere dikdörtgen etiketler tasarlıyor. Etiketlerden birinin boyutları 20 cm ve $14\pi$ cm olarak ölçülüyor. Kutunun yüksekliğinin etiketin kısa kenarı olan 20 cm'ye eşit olduğu biliniyor. Bu durumda, bu etiketin tam olarak saracağı silindir kutunun taban yarıçapı kaç cm olmalıdır?

7 cm 14 cm $7\pi$ cm 20 cm

4. Bir sanat galerisi, silindir şeklinde bir sütunun etrafına boydan boya, aşağıdaki gibi spiral şeklinde bir şerit led döşemek istiyor. Sütunun yüksekliği 3 metre, taban çevresi ise 1 metredir. Led şeridin başlangıç noktası tabanda, bitiş noktası ise tam başlangıç noktasının üzerinde tavanda olacak şekilde, sütun etrafında tam 4 tur atarak döşenecektir. Bu iş için gerekli led şeridin minimum uzunluğunu hesaplamak için hangi geometrik prensip kullanılır ve nasıl bir hesaplama yapılır?

Silindirin hacim formülü kullanılır; $V=\pi r^2 h$. Silindirin yan yüzey açınımı (dikdörtgen) üzerinde Pisagor teoremi kullanılır; yükseklik 3m, yatay kenar 4 tur x 1m = 4m alınır. Sadece yükseklik ve tur sayısı çarpılır; $3m \times 4 = 12m$. Taban çevresi ve tur sayısı çarpılır; $1m \times 4 = 4m$.

5. Elif, doğum günü partisi için silindir şeklinde hediye kutuları hazırlıyor. Kutuların yan yüzeylerini kaplamak için el işi kağıdı kullanacak. Her bir kutunun taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 10 cm. Elif'in bir kutunun yan yüzeyi için kesmesi gereken dikdörtgen şeklindeki kağıdın alanı ne kadar olmalıdır? ($\pi \approx 3$ alınız).

180 cm$^2$ 360 cm$^2$ 108 cm$^2$ 60 cm$^2$

6. Bir fabrika, silindir şeklindeki metal boruları stoklamak için özel raflar tasarlıyor. Her borunun dış çapı 20 cm ve uzunluğu (yüksekliği) 2 metredir. Rafların borulara temas eden kısımlarının paslanmaması için bu kısımlara özel bir kaplama yapılması gerekiyor. Sadece borunun yan yüzeyinin raf ile temas edeceği varsayılırsa, bir borunun kaplanacak yüzeyini temsil eden açınımdaki dikdörtgenin boyutları ne olur?

20 cm ve 200 cm $10\pi$ cm ve 200 cm $20\pi$ cm ve 200 cm $400\pi$ cm ve 20 cm

7. Mimar Sinan'ın eserlerinden biri olan Süleymaniye Camii'nin avlusundaki silindir şeklindeki sütunlardan birinin restorasyonu yapılacak. Restorasyon ekibi, sütunun yan yüzeyini özel bir koruyucu malzeme ile kaplamak istiyor. Sütunun yüksekliği 5 metre ve taban yarıçapı 0.5 metre olarak ölçülüyor. Kaplama malzemesi hesaplanırken yan yüzeyin açınımının alanı temel alınıyor. Bu alan, hangi iki ölçünün çarpımıyla bulunur?

Yükseklik ve Taban Yarıçapı ($h \times r$) Taban Alanı ve Yükseklik ($\pi r^2 \times h$) Taban Çevresi ve Yükseklik ($2\pi r \times h$) Taban Çevresi ve Taban Yarıçapı ($2\pi r \times r$)

8. Bir öğrenci, silindir açınımı konusunu pekiştirmek için farklı boyutlarda silindirler yapıyor. Yaptığı silindirlerden birinin yan yüzey açınımı, kenar uzunlukları 15 cm ve 15 cm olan bir kare şeklinde çıkıyor. Bu durum geometrik olarak mümkün müdür? Eğer mümkünse, bu özel silindirin yüksekliği ve taban çevresi hakkında ne söylenebilir?

Mümkün değildir, yan yüzey her zaman dikdörtgen olmalıdır. Mümkündür; yükseklik 15 cm ve taban çevresi de 15 cm'dir. Mümkündür; yükseklik $15/(2\pi)$ cm, taban çevresi 15 cm'dir. Mümkün değildir, çünkü taban çevresi her zaman yükseklikten büyük olmalıdır.

9. Rulo halinde satılan bir duvar kağıdını düşünün. Bu rulo açıldığında aslında silindirin yan yüzeyinin açınımını temsil eder. Rulonun üzerindeki etikette genişliğinin 50 cm (bu silindirin yüksekliği olur) ve toplam uzunluğunun 10 metre olduğu yazıyor. Bu rulonun sarılı olduğu silindirin taban çevresi yaklaşık olarak ne kadardır? (Not: Rulo kalınlığını ihmal edin, tek kat sarım olduğunu düşünün).

50 cm 10 metre Hesaplanamaz, yarıçap bilinmiyor. Bu bilgiyle doğrudan bulunmaz, 10 metrelik uzunluk açınımdaki dikdörtgenin diğer kenarıdır, ancak bu taban çevresi değildir.

10. Aşağıdaki SVG, bir silindirin açınımını göstermektedir. Dikdörtgenin kenarları $X$ ve $Y$, dairenin yarıçapı $Z$ olarak etiketlenmiştir. Bu etiketler ile silindirin temel elemanları olan yükseklik (h) ve taban yarıçapı (r) arasındaki doğru eşleştirme hangisidir? Bu eşleştirme, alan ve hacim hesaplamalarının temelini oluşturur.

X=h, Y=$2\pi r$, Z=r X=r, Y=h, Z=$2\pi r$ X=$2\pi r$, Y=h, Z=r X=h, Y=r, Z=$2\pi r$

Silindirin Yüzey Alanı

Bir gıda mühendisi, yeni tasarlanan silindir şeklindeki konserve kutuları için ne kadar metal levha gerektiğini hesaplamak istiyor. Bu hesaplama, kutunun tüm yüzeylerinin (alt taban, üst taban ve yan yüzey) toplam alanını bulmayı gerektirir. Silindirin yüzey alanı, onun düzlemsel açınımını oluşturan geometrik şekillerin - yani iki eş daire ve bir dikdörtgenin - alanlarının toplamıdır. Bu toplam alan, üretim maliyetini doğrudan etkileyecektir.

Formüller

• Taban Alanı ($A_{taban}$): Kutunun alt veya üst kapağının alanı: $A_{taban} = \pi r^2$. İki kapak olduğu için toplam taban alanı $2\pi r^2$ olur.
• Yanal Alan ($A_{yanal}$): Kutunun gövdesini oluşturan ve açıldığında dikdörtgen olan kısmın alanı: $A_{yanal} = (Taban Çevresi) \times (Yükseklik) = 2\pi rh$.
• Toplam Yüzey Alanı ($A_{toplam}$): Gereken toplam metal levha miktarı: $$A_{toplam} = (\text{İki Taban Alanı}) + (\text{Yanal Alan})$$ $$A_{toplam} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$$ Bu formül, ortak çarpan parantezine alınarak $A_{toplam} = 2\pi r (r + h)$ şeklinde de yazılabilir. Bu, hesaplamayı kolaylaştırabilir.

Örnek: Mühendis, taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 10 cm olan bir konserve kutusu tasarlıyor. Bu kutunun üretimi için gereken minimum metal levha alanı kaç cm$^2$'dir? ($\pi=3$ alınız)

Yanal Alan Hesaplaması:

$A_{yanal} = 2\pi rh = 2 \times 3 \times 5 \times 10 = 30 \times 10 = 300 \text{ cm}^2$.

Toplam Taban Alanı Hesaplaması:

$A_{tabanlar} = 2\pi r^2 = 2 \times 3 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150 \text{ cm}^2$.

Toplam Yüzey Alanı:

$A_{toplam} = A_{tabanlar} + A_{yanal} = 150 + 300 = 450 \text{ cm}^2$.

Alternatif Formülle:

$A_{toplam} = 2\pi r (r + h) = 2 \times 3 \times 5 (5 + 10) = 30 \times 15 = 450 \text{ cm}^2$.

Pekiştirme Testi: Silindirin Yüzey Alanı

1. Bir çiftçi, tarlasını sulamak için aldığı silindir şeklindeki devasa su tankerinin dışını paslanmaya karşı koruyucu bir boya ile kaplamak istiyor. Tankerin sadece yan yüzeyini boyayacak, alt ve üst tabanlarını boyamayacak. Tankerin taban yarıçapı 2 metre ve yüksekliği 5 metre olduğuna göre, çiftçinin boyayacağı alan tam olarak silindirin hangi kısmının alanıdır ve bu alanın formülü nedir?

Taban Alanı; $\pi r^2$ Toplam Yüzey Alanı; $2\pi r(r+h)$ Yanal Alan; $2\pi rh$ Hacim; $\pi r^2 h$

2. Bir kimyager, laboratuvarda kullanmak üzere özel bir silindir kap tasarlıyor. Kabın taban yarıçapı 6 cm olarak belirlenmiş. Ancak kabın yan yüzeyini kaplamak için elinde sadece $240\pi$ cm$^2$'lik özel bir ısıya dayanıklı malzeme var. Malzemenin tam yetmesi için tasarlanan silindir kabın yüksekliği en fazla kaç cm olmalıdır? Bu hesaplama için hangi alan formülü kullanılmalıdır?

10 cm; Yanal Alan ($A_{yanal}=2\pi rh$) formülü kullanılır. 20 cm; Yanal Alan ($A_{yanal}=2\pi rh$) formülü kullanılır. $20\pi$ cm; Taban Alanı ($A_{taban}=\pi r^2$) formülü kullanılır. 40 cm; Toplam Alan ($A_{toplam}=2\pi r(r+h)$) formülü kullanılır.

3. Bir heykeltıraş, taban çevresi tam olarak $18\pi$ cm olan silindir şeklinde bir mermer blok kullanacak. Bloğun yüksekliği ise 10 cm. Heykeltıraş, bu mermer bloğun hem yan yüzeyini hem de alt ve üst tabanlarını özel bir cila ile parlatmak istiyor. Cilalanacak toplam yüzey alanı kaç cm$^2$'dir? Bu hesaplama için öncelikle hangi bilgi bulunmalıdır?

$180\pi$; Önce yükseklik bulunmalıdır. $243\pi$; Önce eksen uzunluğu bulunmalıdır. $342\pi$; Önce taban yarıçapı ($r$) bulunmalıdır ($2\pi r = 18\pi \implies r=9$). $162\pi$; Önce ana doğru uzunluğu bulunmalıdır.

4. Bir firma, ürettiği silindir şeklindeki pillerin etrafına markasını içeren bir etiket yapıştırıyor. Etiket sadece pilin yan yüzeyini kaplıyor. Kullanılan etiketin alanı $12\pi$ cm$^2$ ve pilin yüksekliği 4 cm olduğuna göre, bu silindir pilin taban yarıçapı kaç cm'dir? Pilin iki ucundaki dairesel alanlar bu hesaplamaya dahil edilmeli midir?

1.5 cm; Hayır, sadece yanal alan kullanılır. 3 cm; Hayır, sadece yanal alan kullanılır. 1.5 cm; Evet, taban alanları da eklenmelidir. 3 cm; Evet, taban alanları da eklenmelidir.

5. Bahçıvan Ali Bey, bahçesindeki ağaçları sulamak için kullandığı, üstü açık, silindir şeklindeki varilin iç yüzeyini su geçirmez bir malzeme ile kaplamak istiyor. Varilin taban yarıçapı 30 cm ve yüksekliği 80 cm. Ali Bey'in kaplaması gereken toplam alan ne kadardır? (Varilin sadece iç tabanını ve iç yan yüzeyini kaplayacak, dışını ve üstünü kaplamayacak).

Sadece Yanal Alan: $2\pi rh$ Sadece Taban Alanı: $\pi r^2$ Toplam Yüzey Alanı: $2\pi r^2 + 2\pi rh$ Taban Alanı + Yanal Alan: $\pi r^2 + 2\pi rh$

6. Bir mücevher tasarımcısı, silindir şeklinde altın bir kolye ucu tasarlıyor. Kolye ucunun yarıçapı 0.5 cm ve yüksekliği 1.5 cm. Bu küçük silindirin tüm yüzey alanını (alt, üst ve yan yüzey) hesaplamak için kullanılması gereken en pratik formül hangisidir ve bu formülle bulunan alan neyi ifade eder?

$A = \pi r^2 h$; Silindirin hacmini ifade eder. $A = 2\pi rh$; Sadece yan yüzeyin alanını ifade eder. $A = 2\pi r (r+h)$; Alt, üst ve yan yüzeyin toplam alanını ifade eder. $A = \pi r^2$; Sadece bir tabanın alanını ifade eder.

7. Bir okulun fen laboratuvarı için alınan, yarıçapı 4 cm olan silindir şeklindeki dereceli kapların yan yüzeylerine her santimetreküpü gösteren çizgiler basılacak. Eğer kabın toplam yüksekliği 20 cm ise, çizgilerin basılacağı yan yüzeyin toplam alanı ne kadardır? Bu alan hesaplanırken kabın tabanının veya ağzının alanı dikkate alınır mı? ($\pi \approx 3.14$ alınız)

Yaklaşık 502.4 cm$^2$; Hayır, sadece yanal alan ($2\pi rh$) hesaplanır. Yaklaşık 1004.8 cm$^2$; Evet, iki taban alanı eklenir. Yaklaşık 251.2 cm$^2$; Hayır, sadece yanal alan ($2\pi rh$) hesaplanır. Yaklaşık 301.44 cm$^2$; Evet, bir taban alanı eklenir.

8. Bir endüstriyel tesiste, yerden tavana uzanan silindir şeklinde bir havalandırma borusunun dış yüzeyi yalıtım malzemesi ile kaplanacaktır. Borunun çapı 1 metre, yerden tavana yüksekliği ise 8 metredir. Kullanılacak yalıtım malzemesi metrekare cinsinden hesaplanacağına göre, kaplanacak alan (borunun yan yüzeyi) kaç metrekaredir? ($\pi \approx 3.14$ alınız).

Yaklaşık 12.56 m$^2$ Yaklaşık 25.12 m$^2$ Yaklaşık 50.24 m$^2$ Yaklaşık 8 m$^2$

9. Bir kutlama için silindir şeklinde, altı kapalı, üstü açık karton külahlar yapılıyor. Her bir külahın taban yarıçapı 5 cm, yüksekliği 12 cm'dir. Bir külah için gereken karton miktarını hesaplamak isteyen organizatör, hangi yüzeylerin alanını toplamalıdır? (Sadece kullanılan karton miktarı soruluyor, yapıştırma payları ihmal edilecek).

Sadece Yan Yüzey Alanı Alt Taban Alanı + Yan Yüzey Alanı İki Taban Alanı + Yan Yüzey Alanı Sadece Alt Taban Alanı

10. Bir makine parçasının yüzeyi, aşağıdaki diyagramda gösterildiği gibi silindiriktir. Parçanın toplam yüzey alanını minimuma indirmek için tasarım optimize edilecektir. Yarıçap $r$ ve yükseklik $h$ olmak üzere, toplam yüzey alanını veren $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ formülündeki '$2\pi r^2$' terimi geometrik olarak neyi ifade etmektedir?

Silindirin yan yüzeyinin alanını. Silindirin alt ve üst tabanlarının toplam alanını. Silindirin hacmini. Silindirin ekseninin uzunluğunu.

Silindirin Hacmi

Bir içecek firması, yeni çıkaracağı meyve suyu için silindir şeklinde kutular tasarlıyor. Firmanın üretim departmanı, her bir kutuya ne kadar meyve suyu doldurulacağını, yani kutunun iç hacmini bilmek zorunda. Silindirin hacmi, temel olarak tabanının kapladığı alan ile ne kadar yüksekliğe sahip olduğunun çarpımıdır. Bu, kutunun ne kadar ürün alabileceğini belirleyen en temel ölçüttür.

Hacim Formülü

Taban yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan bir dik dairesel silindirin içine sığabilecek maksimum madde miktarını (hacmini, $V$) veren formül şudur:

$$V = (\text{Taban Alanı}) \times (\text{Yükseklik})$$ $$V = (\pi r^2) \times h$$ $$V = \pi r^2 h$$

Örnek 1: İçecek firmasının tasarladığı kutulardan birinin taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 12 cm'dir. Bu kutu tam olarak dolduğunda kaç cm$^3$ meyve suyu alır? ($\pi=3$ alınız)

Kutunun hacmini hesaplayalım:

$V = \pi r^2 h = 3 \times 4^2 \times 12$

$V = 3 \times 16 \times 12 = 48 \times 12 = 576 \text{ cm}^3$.

Bu kutu 576 cm$^3$ meyve suyu alır.

Örnek 2: Üretim bandındaki başka bir silindir kutunun hacminin $750\pi$ cm$^3$ olduğu ve yüksekliğinin 30 cm olduğu ölçülüyor. Bu kutunun taban yarıçapı kaç cm'dir?

Hacim formülünü kullanarak yarıçapı bulabiliriz:

$V = \pi r^2 h$

$750\pi = \pi \times r^2 \times 30$

Eşitliğin her iki tarafını $30\pi$'ye bölersek:

$\frac{750\pi}{30\pi} = r^2$

$25 = r^2$

$r = 5$ cm olarak bulunur.

Pekiştirme Testi: Silindirin Hacmi

1. Bir bahçıvan, yeni diktiği fidanları sulamak için kullandığı silindir şeklindeki kovayı dolduruyor. Kovanın taban alanı 300 cm$^2$ ve derinliği (yüksekliği) 40 cm. Kova tamamen dolduğunda kaç litre su alır? (1 litre = 1000 cm$^3$). Bu hesap için hangi temel prensip kullanılır?

1.2 litre; Prensip: Yanal Alan x Yükseklik. 12 litre; Prensip: Taban Alanı x Yükseklik. 120 litre; Prensip: Taban Çevresi x Yükseklik. 7.5 litre; Prensip: Taban Alanı / Yükseklik.

2. Bir inşaat firması, temel kazısı sırasında çıkan toprağı taşımak için silindir şeklinde devasa damperli kamyonlar kullanıyor. Kamyon kasalarından birinin iç hacmi $160\pi$ metreküp ve iç yüksekliği 5 metredir. Bu kamyon kasasının tabanının iç yarıçapı kaç metredir? Hangi formül bu hesaplamayı sağlar?

$\sqrt{32}$ metre; $V = \pi r^2 h$ 32 metre; $V = 2\pi rh$ 4 metre; $V = \pi r^2 h$ 8 metre; $V = \pi r^2 h$

3. Bir kimya fabrikası, ürettiği sıvı bir maddeyi depolamak için yüksekliği, taban yarıçapının tam olarak 4 katı olan silindir şeklinde tanklar kullanıyor. Tanklardan birinin tam doluyken $108\pi$ metreküp sıvı aldığı bilindiğine göre, bu tankın taban yarıçapı kaç metredir? (Önce yükseklik ile yarıçap arasındaki ilişkiyi formülde yerine koyun).

2 metre 3 metre 4 metre 6 metre

4. Bir akvaryum tasarımcısı, müşterisi için özel, silindir şeklinde bir akvaryum yapıyor. Akvaryumun taban çapı 80 cm ve yüksekliği 100 cm olacak. Tasarımcı, akvaryumun kaç litre su alacağını hesaplayıp müşteriye bildirmek istiyor. Bu hesaplamayı yaparken dikkat etmesi gereken ilk adım nedir ve sonuç yaklaşık ne olur? (1 litre = 1000 cm$^3$, $\pi \approx 3.14$ alınız).

Önce yanal alanı hesaplamak; Sonuç yaklaşık 251 litre. Önce yarıçapı bulmak (çap/2 = 40 cm); Sonuç yaklaşık 502 litre. Önce taban çevresini bulmak; Sonuç yaklaşık 80 litre. Yüksekliği $\pi$ ile çarpmak; Sonuç yaklaşık 314 litre.

5. Bir oyuncakçı, iç içe geçebilen silindir şeklinde kaplar satıyor. En büyük kabın taban yarıçapı 10 cm ve yüksekliği 20 cm. Bir küçüğünün yarıçapı 8 cm ve yüksekliği 16 cm. Bir müşteri, büyük kabın hacminin küçük kabın hacminden ne kadar fazla olduğunu merak ediyor. Bu farkı bulmak için hangi işlem yapılmalıdır ve fark yaklaşık ne kadardır? ($\pi \approx 3$ alınız).

Hacimler toplanır; Fark yaklaşık 9072 cm$^3$. Hacimler çıkarılır ($V_{büyük} - V_{küçük}$); Fark yaklaşık 2928 cm$^3$. Yüzey alanları çıkarılır; Fark yaklaşık 400 cm$^2$. Yükseklikler farkı alınır; Fark 4 cm.

6. Bir fırıncı, silindir şeklindeki kek kalıpları kullanıyor. Kalıplardan birinin iç taban çevresi $24\pi$ cm ve derinliği (yüksekliği) 8 cm'dir. Fırıncı, bu kalıba hazırladığı kek harcının tamamını dolduruyor. Kalıbın aldığı kek harcı miktarı (hacmi) kaç cm$^3$'tür? Bu hesap için önce hangi bilgi bulunmalıdır?

$192\pi$ cm$^3$; Önce yükseklik bulunmalıdır. $1152\pi$ cm$^3$; Önce taban yarıçapı ($2\pi r = 24\pi \implies r=12$) bulunmalıdır. $576\pi$ cm$^3$; Önce taban alanı ($A = \pi r^2$) bulunmalıdır. $144\pi$ cm$^3$; Önce kalıbın çapı bulunmalıdır.

7. Bir sanatçı, tamamen buzdan yapılmış, taban yarıçapı 1 metre ve yüksekliği 3 metre olan silindir şeklinde bir heykel yapıyor. Heykel, sergilendiği ortamda erimeye başlıyor ve hacminin %10'unu kaybediyor. Kalan buzun hacmi kaç metreküptür? ($\pi \approx 3$ alınız). Önce hangi hesaplama yapılmalı?

9 m$^3$; Önce ilk hacim ($V=\pi r^2h$) hesaplanmalı, sonra %90'ı alınmalı. 8.1 m$^3$; Önce ilk hacim ($V=\pi r^2h$) hesaplanmalı, sonra %90'ı alınmalı. 0.9 m$^3$; Önce ilk hacim ($V=\pi r^2h$) hesaplanmalı, sonra %10'u alınmalı. 3 m$^3$; Önce yükseklikten %10 çıkarılmalı.

8. Bir petrol mühendisi, yer altında bulunan silindir şeklindeki bir petrol rezervuarının tahmini kapasitesini hesaplıyor. Rezervuarın yaklaşık taban alanı 5000 metrekare ve kalınlığının (yüksekliğinin) ortalama 20 metre olduğu tahmin ediliyor. Bu rezervuarın alabileceği maksimum petrol miktarı (hacmi) yaklaşık kaç metreküptür?

250 m$^3$ 5020 m$^3$ 10,000 m$^3$ 100,000 m$^3$

9. lif, silindir şeklindeki kumbarasına madeni para biriktiriyor. Kumbaranın iç yarıçapı 6 cm ve iç yüksekliği 15 cm. Kumbaranın tamamen dolduğunu varsayarsak, içindeki boşluğun hacmi ne kadardır? Bu hacim, kumbaranın ne kadar para alabileceği hakkında bir fikir verir. ($\pi \approx 3$ alınız)

270 cm$^3$ 540 cm$^3$ 1080 cm$^3$ 1620 cm$^3$

10. Bir su arıtma tesisinde, arıtılmış suyu depolamak için kullanılan silindir tanklardan birinin hacmi $400\pi$ metreküp ve yüksekliği 16 metredir. Tesis sorumlusu, tankın tabanına yeni bir filtre sistemi kurmak için taban yarıçapını bilmek istiyor. Bu bilgiye ulaşmak için hangi formülü kullanmalı ve yarıçap kaç metredir?

$V = 2\pi rh$; Yarıçap 12.5 metredir. $V = \pi r^2 h$; Yarıçap 5 metredir. $V = \pi r^2 h$; Yarıçap 25 metredir. $A = 2\pi r(r+h)$; Yarıçap 4 metredir.

Dikdörtgenin Kenarları Etrafında Döndürülmesiyle Silindir Oluşturma

Bir maket tasarımcısı, elindeki $a \times b$ boyutlarındaki dikdörtgen şeklindeki ince metal levhayı, kenarlarından biri etrafında kıvırarak farklı boyutlarda silindir borular oluşturabileceğini fark ediyor. Levhayı hangi kenarı etrafında 360° döndürdüğüne bağlı olarak, elde edeceği silindirin hem yüksekliği hem de taban genişliği değişecektir. Bu prensip, endüstride rulo halindeki malzemelerden boru üretiminde veya mimaride dönel yüzeyler oluşturmada kullanılır.

Oluşan Silindirin Boyutları

• Döndürme Ekseni Olan Kenar (Yukarıdaki SVG'de 'a'): Bu kenar sabit kalır ve oluşan silindirin yüksekliği ($h$) olur.
• Döndürme Eksenine Dik Kenar (Yukarıdaki SVG'de 'b'): Bu kenar, dönme sırasında dairesel bir yol izleyerek silindirin tabanını oluşturur. Dolayısıyla bu kenarın uzunluğu, oluşan silindirin taban yarıçapı ($r$) olur.

Örnek: Tasarımcı, kenar uzunlukları 6 cm ve 10 cm olan bir dikdörtgen levhayı kullanıyor.

a) Kısa kenarı (6 cm) etrafında 360° döndürülürse:

Döndürme ekseni kısa kenar olduğu için yükseklik $h = 6$ cm olur.

Diğer kenar (10 cm) taban yarıçapı olur: $r = 10$ cm.

Oluşan silindirin hacmi: $V = \pi r^2 h = \pi (10^2) (6) = 600\pi \text{ cm}^3$.

b) Uzun kenarı (10 cm) etrafında 360° döndürülürse:

Döndürme ekseni uzun kenar olduğu için yükseklik $h = 10$ cm olur.

Diğer kenar (6 cm) taban yarıçapı olur: $r = 6$ cm.

Oluşan silindirin hacmi: $V = \pi r^2 h = \pi (6^2) (10) = 360\pi \text{ cm}^3$.

Dikkat: Aynı dikdörtgenden, hangi kenar etrafında döndürüldüğüne bağlı olarak farklı hacim ve yüzey alanlarına sahip silindirler elde edilir. Genellikle daha büyük hacimli silindir, kısa kenar etrafında döndürme ile oluşur (çünkü yarıçap karesiyle orantılıdır).

Pekiştirme Testi: Dikdörtgeni Döndürme

1. Bir öğrenci, elindeki 8 cm x 12 cm boyutlarındaki kartonu, kısa kenarı olan 8 cm'lik kenarı masa üzerinde sabit tutarak 360 derece döndürüyor ve bir silindir modeli oluşturuyor. Bu işlem sonucunda oluşan silindirin taban dairesinin yarıçapı kaç cm olur? Bu yarıçap, kartonun hangi kenarından gelmektedir?

4 cm; Kısa kenarın yarısından gelir. 8 cm; Döndürme ekseni olan kısa kenardan gelir. 12 cm; Dönme eksenine dik olan uzun kenardan gelir. 6 cm; Uzun kenarın yarısından gelir.

2. Bir metal levha üreticisi, 50 cm genişliğinde ve 100 cm uzunluğundaki dikdörtgen levhaları, uzun kenarı (100 cm) boyunca kıvırıp birleştirerek silindir şeklinde borular üretiyor. Bu işlem, dikdörtgeni 100 cm'lik kenarı etrafında döndürmekle aynı sonucu verir. Oluşan borunun (silindirin) yüksekliği kaç cm olur? Bu yükseklik, levhanın hangi boyutuna karşılık gelir?

50 cm; Levhanın genişliğine (dönme yarıçapına) karşılık gelir. 100 cm; Levhanın uzunluğuna (dönme eksenine) karşılık gelir. $50\pi$ cm; Levhanın genişliğinin $\pi$ katına karşılık gelir. $100\pi$ cm; Levhanın uzunluğunun $\pi$ katına karşılık gelir.

3. Bir sanatçı, 20 cm x 30 cm boyutlarında bir cam levhayı, 30 cm'lik kenarı etrafında 360 derece döndürerek silindir şeklinde bir vazo tasarlıyor. Vazoyu suyla doldurmadan önce iç hacmini hesaplamak istiyor. Oluşan bu silindirik vazonun hacmini hesaplamak için kullanılacak yarıçap (r) ve yükseklik (h) değerleri sırasıyla ne olmalıdır?

r = 30 cm, h = 20 cm r = 15 cm, h = 20 cm r = 10 cm, h = 30 cm r = 20 cm, h = 30 cm

4. Bir kağıt fabrikası, rulo halindeki kağıtları keserek A4 boyutunda (yaklaşık 21 cm x 30 cm) tabakalar üretiyor. Eğer bir A4 kağıdını, kısa kenarı (21 cm) etrafında döndürerek bir silindir oluşturursak elde edeceğimiz silindirin hacmi $V_1$; uzun kenarı (30 cm) etrafında döndürerek oluşturursak elde edeceğimiz silindirin hacmi $V_2$ olsun. Bu iki hacim arasındaki ilişki nedir?

$V_1 = V_2$ olur, çünkü aynı kağıttan yapılmıştır. $V_1 < V_2$ olur, çünkü uzun kenar etrafında dönünce daha yüksek olur. $V_1 > V_2$ olur, çünkü kısa kenar etrafında dönünce yarıçap daha büyük olur (Hacim $r^2$ ile orantılı). Hacimler hesaplanamaz, $\pi$ değeri verilmemiş.

5. Bir mühendislik öğrencisi, kenarları 5 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgeni kısa kenarı etrafında döndürerek bir silindir oluşturuyor. Oluşan bu silindirin tüm yüzey alanını (alt taban, üst taban ve yan yüzey) hesaplamak istiyor. Bu hesaplama için hangi yarıçap (r) ve yükseklik (h) değerlerini kullanmalı ve alan formülü ne olmalıdır?

r=5, h=12; Alan = $2\pi r^2$ r=12, h=5; Alan = $2\pi rh$ r=12, h=5; Alan = $2\pi r(r+h)$ r=5, h=12; Alan = $2\pi r(r+h)$

6. Bir aşçı, 40 cm x 60 cm boyutlarındaki bir yağlı kağıdı, 40 cm'lik kenarını silindirin yüksekliği olacak şekilde kıvırarak büyük bir kek kalıbı yapıyor. Oluşan silindir kalıbın taban çevresi kaç cm olur? Bu değer, yağlı kağıdın hangi boyutuna eşittir?

40 cm; Yağlı kağıdın kısa kenarına eşittir. 60 cm; Yağlı kağıdın uzun kenarına eşittir. $40\pi$ cm; Kısa kenarın $\pi$ katına eşittir. $60\pi$ cm; Uzun kenarın $\pi$ katına eşittir.

7. Bir marangoz, elindeki kare şeklindeki, kenar uzunluğu 10 cm olan bir tahta parçasını, kenarlarından biri etrafında 360 derece döndürerek silindirik bir parça elde ediyor. Bu işlem sonucunda oluşan silindirin yüksekliği (h) ve taban yarıçapı (r) kaçar cm olur?

h=10 cm, r=10 cm h=10 cm, r=5 cm h=5 cm, r=10 cm h=5 cm, r=5 cm

8. Aşağıdaki SVG diyagramında, 'a' kenarı etrafında döndürülen bir 'a' x 'b' dikdörtgeni gösterilmiştir. Oluşan silindirin yanal alanını hesaplamak için gereken formül $2\pi r h$'dir. Bu formüldeki 'r' ve 'h' değerleri, dikdörtgenin 'a' ve 'b' kenarları cinsinden nasıl ifade edilir?

r=a, h=b r=b, h=a r=a/2, h=b r=b/2, h=a

9. Bir tekstil fabrikası, 2 metre eninde (genişliğinde) kumaş toplarını rulo haline getiriyor. Rulonun yüksekliği kumaşın eni olan 2 metredir. Eğer rulonun tamamen açıldığında uzunluğunun 50 metre olduğu biliniyorsa, bu rulonun oluşturduğu (yaklaşık) silindirin taban çevresi ne kadardır? (Kumaş kalınlığını ve sarımdan dolayı oluşan çap artışını ihmal edin).

2 metre 50 metre $2\pi \times 1 = 2\pi$ metre Bu bilgilerle taban çevresi bulunamaz, 50 metre açınımdaki dikdörtgenin bir kenarıdır.

10. Bir öğrenci proje ödevi için 15 cm x 25 cm boyutlarında bir karton kullanarak iki farklı silindir yapıyor. Birincisini 15 cm'lik kenarı yükseklik olacak şekilde, ikincisini ise 25 cm'lik kenarı yükseklik olacak şekilde yapıyor. Hangi silindirin hacmi daha büyük olur ve neden? Bu, ambalaj tasarımında neden önemli bir faktördür?

İkincinin hacmi daha büyüktür (h=25, r=15), çünkü yüksekliği fazladır. Birincinin hacmi daha büyüktür (h=15, r=25), çünkü yarıçapın karesi hacmi daha çok etkiler. Hacimleri eşit olur, çünkü aynı kartondan yapılmışlardır. Hacimler karşılaştırılamaz, $\pi$ bilinmiyor.

Silindir Yüzeyinde Hareket Eden Karınca Problemleri

Bir biyolog, silindir şeklindeki bir ağaç gövdesi üzerinde hareket eden bir karıncanın yuvasına ulaşmak için izleyebileceği en verimli yolu (en kısa yolu) araştırıyor. Karınca, gövdenin alt kısmındaki A noktasından başlayıp, gövde etrafında dolanarak belirli bir yükseklikteki B noktasına ulaşmak zorunda. Bu tür problemler, yüzey üzerinde iki nokta arasındaki en kısa mesafeyi bulmayı gerektirir ve genellikle silindirin yan yüzeyinin düzlemsel açınımı kullanılarak çözülür.

Çözüm Yöntemi

1. Açınımı Çiz: İlk adım, silindirin yan yüzeyini açarak bir dikdörtgen elde etmektir. Bu dikdörtgenin bir kenarı silindirin yüksekliği ($h$), diğer kenarı ise taban çevresi ($2\pi r$) olur.
2. Noktaları İşaretle: Karıncanın başlangıç (A) ve bitiş (B) noktalarını bu dikdörtgen üzerinde doğru yerlere işaretle. Eğer karınca tam bir tur atıyorsa, B noktası A'nın yatayda $2\pi r$ kadar ilerisinde ve dikeyde yükseklik kadar yukarısında olur. Yarım tur atıyorsa yatayda $\pi r$ kadar ileride olur. Kaç tur attığına dikkat et!
3. Doğru Çiz ve Hesapla: İşaretlenen A ve B noktaları arasındaki en kısa mesafe, dikdörtgen üzerinde bu iki noktayı birleştiren düz çizginin (hipotenüsün) uzunluğudur.
4. Pisagor Teoremi: Bu uzunluğu bulmak için genellikle Pisagor teoremi kullanılır: $(En Kısa Yol)^2 = (Dikey Mesafe)^2 + (Yatay Mesafe)^2$. Burada dikey mesafe genellikle $h$, yatay mesafe ise $2\pi r$ (veya turun kesrine göre $\pi r$, $4\pi r$ vb.) olur.

Örnek: Biyolog, taban yarıçapı 4 birim ve yüksekliği $6\pi$ birim olan bir ağaç gövdesini inceliyor. Karınca, tabandaki A noktasından başlayıp, gövde etrafında tam bir tur atarak A'nın tam üzerindeki B noktasına tırmanıyor. Karıncanın alacağı en kısa yol nedir?

1. Açınım dikdörtgeninin kenarları: Yükseklik $h = 6\pi$ birim. Taban çevresi $2\pi r = 2\pi (4) = 8\pi$ birim.

2. A noktası dikdörtgenin sol alt köşesi ise, tam tur atıp A'nın üzerine (B'ye) ulaştığı için B noktası dikdörtgenin sağ üst köşesidir.

3. En kısa yol, bu dikdörtgenin köşegenidir.

4. Pisagor: $Yol^2 = h^2 + (2\pi r)^2 = (6\pi)^2 + (8\pi)^2$

$Yol^2 = 36\pi^2 + 64\pi^2 = 100\pi^2$

$Yol = \sqrt{100\pi^2} = 10\pi$ birim.

Pekiştirme Testi: Karınca Problemleri

1. Bir mühendis, silindir şeklindeki bir fabrikanın devasa bacasının dış yüzeyine, tabandan başlayıp tam tepeye ulaşan ve baca etrafında tam bir tur atan spiral şeklinde bir merdiven tasarlıyor. Merdivenin mümkün olan en kısa yolda ilerlemesi için, mühendisin hesaplama yaparken bacanın hangi geometrik temsilini kullanması en doğrudur?

Bacayı oluşturan dairelerin alanlarını. Bacayı yandan gösteren iki boyutlu kesitini. Bacanın yan yüzeyinin açınımı olan dikdörtgeni. Bacanın hacmini veren formülü.

2. Bir parktaki silindir şeklindeki oyun tünelinin yüksekliği 3 metre ve taban çevresi 4 metredir. Bir çocuk, tünelin girişindeki A noktasından girip, tünel yüzeyi üzerinde tam bir tur atarak, A noktasının tam karşısındaki çıkış noktası olan B'ye ulaşıyor. Çocuğun tünel içinde alacağı en kısa mesafe kaç metredir?

4 metre 5 metre 7 metre $\sqrt{28}$ metre

3. Bir karınca, taban yarıçapı $5/\pi$ cm ve yüksekliği 6 cm olan silindir şeklindeki bir konserve kutusunun alt tabanının kenarındaki bir noktadan (A) başlayıp, kutunun yan yüzeyi üzerinden ilerleyerek, tam A'nın karşısına denk gelen, üst tabanın kenarındaki bir noktaya (B) ulaşmak istiyor. Ancak karınca kutunun etrafında tam tur atmak yerine, mümkün olan en kısa yoldan yani yarım tur atarak B'ye gidiyor. Karıncanın alacağı bu en kısa yol kaç cm'dir?

$\sqrt{61}$ cm 11 cm $\sqrt{89}$ cm $\sqrt{36+25\pi^2}$ cm

4. Yüksekliği 15 cm, taban çevresi 16 cm olan silindir bir vazonun yüzeyine, A noktasından B noktasına (A ve B aynı düşey hizada) tam iki tur atarak ince bir ip sarılıyor. İpin mümkün olduğunca gergin sarıldığı, yani en kısa yolu izlediği varsayılıyor. Bu durumda kullanılan ipin uzunluğu kaç cm olur? (Hesaplamada açınım dikdörtgeninin yatay kenarını nasıl almalısınız?)

$\sqrt{15^2 + 16^2}$ cm 17 cm 34 cm $\sqrt{15^2 + 32^2}$ cm (Yatay kenar = 2 x Çevre alınır)

5. Bir elektrikçi, yüksekliği 9 metre, taban yarıçapı $2/\pi$ metre olan silindir şeklindeki bir direğin etrafına, tabandan başlayıp tepeye ulaşacak şekilde ve direk etrafında tam 3 tur atarak kablo döşeyecektir. Kullanılacak kablonun minimum uzunluğunu hesaplamak için Pisagor teoremindeki dik kenarlar hangi değerler olmalıdır?

Dikey: 9 m, Yatay: $2\pi(2/\pi) = 4$ m Dikey: 9 m, Yatay: $3 \times 2\pi(2/\pi) = 12$ m Dikey: $9 \times 3 = 27$ m, Yatay: $2\pi(2/\pi) = 4$ m Dikey: 9 m, Yatay: $3 \times (2/\pi) = 6/\pi$ m

6. Yandaki SVG, bir silindirin yan yüzey açınımını ve üzerinde A'dan B'ye alınan en kısa yolu (yeşil çizgi) göstermektedir. Dikdörtgenin dikey kenarı 'h', yatay kenarı 'Ç' (Çevre) olarak verilmiştir. En kısa yolun uzunluğunu hesaplamak için Pisagor teoreminde hipotenüsün karesi, hangi iki değerin kareleri toplamına eşit olur?

$h^2 + (Ç/2)^2$ $h^2 + Ç^2$ $(h/2)^2 + Ç^2$ $h + Ç$

7. Bir salyangoz, yüksekliği 24 cm ve taban çevresi 7 cm olan silindir şeklindeki bir bambu çubuğun dibindeki A noktasından başlayıp, yüzeyden ilerleyerek tam tepeye, A'nın hizasındaki B noktasına ulaşıyor. Salyangozun aldığı yolun en kısa olması için izlemesi gereken patikanın uzunluğu kaç cm'dir? Bu uzunluk hangi özel üçgenin hipotenüsüdür?

24 cm; Yükseklik kadardır. 31 cm; 7-24-31 üçgeni. 25 cm; 7-24-25 özel dik üçgeni. $\sqrt{24^2 - 7^2}$ cm.

8. Taban yarıçapı $r = 1/\pi$ olan ve yüksekliği $h=3$ olan bir silindir düşünün. Bir böcek, silindirin yan yüzeyinde, tabandaki bir noktadan başlayıp silindir etrafında tam $N$ tur atarak aynı hizada tepeye ulaşıyor. Böceğin aldığı en kısa yolun $Yol = \sqrt{h^2 + (N \times 2\pi r)^2}$ formülüyle hesaplandığını biliyoruz. Eğer böcek tam 2 tur atarsa, yolun hesaplanmasında Pisagor teoremindeki yatay uzaklık ne olur?

$2\pi (1/\pi) = 2$ $1 \times 2\pi (1/\pi) = 2$ $2 \times 2\pi (1/\pi) = 4$ $N$

9. Bir heykeltıraş, 1 metre yüksekliğinde ve taban çevresi 2 metre olan silindir şeklinde bir kütük üzerine, tabandan tavana tam yarım tur atacak şekilde ince bir oyma yapacaktır. Oymanın uzunluğunun minimum olması için izleyeceği yolun uzunluğu ne kadardır? Hesaplamada açınım dikdörtgeninin hangi boyutları kullanılır?

Yükseklik=1m, Yatay=2m; $Yol = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$ m. Yükseklik=1m, Yatay=1m (Çevrenin yarısı); $Yol = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ m. Yükseklik=0.5m, Yatay=2m; $Yol = \sqrt{0.5^2+2^2} = \sqrt{4.25}$ m. Yükseklik=1m, Yatay=$2\pi(1/\pi)=2$m; Yol = $\sqrt{5}$ m.

10. Silindir etrafında en kısa yol hesaplanırken yan yüzey açınımı olan dikdörtgenin kullanıldığını öğrendik. Peki, karınca A noktasından başlayıp hiç tur atmadan sadece dikey olarak B noktasına çıksaydı (yani bir ana doğru boyunca ilerleseydi), açınım dikdörtgeni üzerinde bu yol nasıl görünürdü ve uzunluğu ne olurdu?

Dikdörtgenin köşegeni olurdu; uzunluğu $\sqrt{h^2 + (2\pi r)^2}$ olurdu. Dikdörtgenin dikey kenarı olurdu; uzunluğu $h$ (yükseklik) olurdu. Dikdörtgenin yatay kenarı olurdu; uzunluğu $2\pi r$ (çevre) olurdu. Dikdörtgenin içinde kavisli bir yol olurdu; uzunluğu hesaplanamazdı.

Günlük Yaşamda Silindir Problemleri

Etrafımıza baktığımızda silindir şekliyle ne kadar sık karşılaştığımızı fark ederiz: içtiğimiz suyun bardağı, yediğimiz yemeğin konserve kutusu, evimizdeki ısıtma boruları, şantiyelerdeki devasa beton borular, hatta bir rulo tuvalet kağıdı bile temel olarak silindiriktir. Bu nedenle, silindirin hacim ve yüzey alanı formüllerini bilmek, günlük hayatta karşılaştığımız birçok durumu anlamamıza ve basit hesaplamalar yapmamıza olanak tanır.

Örnek 1: Ayşe, doğum günü partisi için silindir şeklinde bir pasta yapıyor. Pastanın taban yarıçapı 15 cm ve yüksekliği 10 cm. Pastanın sadece yan yüzeyini ve üst tabanını krem şanti ile kaplamak istiyor. Kaplaması gereken alan kaç cm$^2$'dir? ($\pi=3$ alınız)

Kaplanacak alan = Yan Yüzey Alanı + Üst Taban Alanı

$A_{yanal} = 2\pi rh = 2 \times 3 \times 15 \times 10 = 900 \text{ cm}^2$.

$A_{üst taban} = \pi r^2 = 3 \times 15^2 = 3 \times 225 = 675 \text{ cm}^2$.

Toplam Kaplama Alanı = $900 + 675 = 1575 \text{ cm}^2$.

Örnek 2: Bir çiftçi, silindir şeklindeki deposunda 60 metreküp su biriktirmiştir. Deponun iç yüksekliği 5 metre olduğuna göre, deponun iç taban alanı kaç metrekaredir?

Hacim = Taban Alanı $\times$ Yükseklik

$60 = (\text{Taban Alanı}) \times 5$

Taban Alanı = $60 / 5 = 12 \text{ m}^2$.

(Not: Yarıçapı bulmak isteseydik $\pi r^2 = 12$ denklemini çözmemiz gerekirdi.)

Pekiştirme Testi: Günlük Yaşam Problemleri

1. Bir markette satılan silindir şeklindeki salça kutusunun taban çapı 8 cm ve yüksekliği 11 cm'dir. Üretici firma, bu kutunun içine ne kadar salça sığdığını (hacmini) etikete yazdırmak istiyor. Etikette yazması gereken hacim yaklaşık kaç cm$^3$'tür? ($\pi \approx 3$ alınız). Hangi temel bilgi ilk olarak hesaplanmalıdır?

264 cm$^3$; Önce çevre hesaplanmalıdır. 528 cm$^3$; Önce yarıçap (çap/2=4 cm) bulunmalıdır. 1056 cm$^3$; Önce taban alanı hesaplanmalıdır. 88 cm$^3$; Önce yükseklik yarıçapa bölünmelidir.

2. Bir ressam, silindir şeklindeki bir tuval üzerine resim yapacaktır. Tuvalin yüksekliği 60 cm ve taban yarıçapı 20 cm'dir. Ressam, tuvalin sadece yan yüzeyini kullanacağına göre, resim yapabileceği alan kaç cm$^2$'dir? Bu alan hesaplanırken hangi formül kullanılır? ($\pi \approx 3.14$ alınız)

Yaklaşık 3768 cm$^2$; Formül: $A = \pi r^2$. Yaklaşık 7536 cm$^2$; Formül: $A = 2\pi rh$. Yaklaşık 10048 cm$^2$; Formül: $A = 2\pi r(r+h)$. Yaklaşık 1200 cm$^2$; Formül: $A = r \times h$.

3. Bir çiftlikteki silindir şeklindeki saman balyasının taban yarıçapı 1 metre ve yüksekliği 1.5 metredir. Bu balyanın hacmi yaklaşık olarak kaç metreküptür? Bu hacim, çiftçinin ne kadar hayvan yemi depoladığını gösterir. ($\pi \approx 3$ alınız)

3 m$^3$ 4.5 m$^3$ 6 m$^3$ 9 m$^3$

4. Bir inşaat projesinde kullanılacak olan, aşağıdaki diyagramda gösterilen silindir şeklindeki beton borunun iç yarıçapı 1 metre, dış yarıçapı 1.2 metre ve uzunluğu (yüksekliği) 3 metredir. Borunun yapımında kullanılan betonun hacmini bulmak için nasıl bir hesaplama yapılmalıdır?

İç silindirin hacmi hesaplanır. Dış silindirin yüzey alanı hesaplanır. Dış silindirin hacminden iç silindirin hacmi çıkarılır ($V_{dış} - V_{iç}$). İç silindirin yanal alanı hesaplanır.

5. Bir kimyager, deneyinde kullanacağı 500 ml (yani 500 cm$^3$) sıvıyı tam olarak alacak silindir şeklinde bir beher tasarlamak istiyor. Beherin iç taban yarıçapının 5 cm olmasına karar veriyor. Bu beherin iç yüksekliği kaç cm olmalıdır ki tam 500 cm$^3$ sıvı alabilsin? ($\pi \approx 3.14$ alınız)

Yaklaşık 6.37 cm Yaklaşık 10 cm Yaklaşık 15.92 cm Yaklaşık 31.85 cm

6. Bir süpermarket, kendi markasıyla ürettiği silindir şeklindeki yulaf ezmesi kutularının etrafına renkli bir etiket yapıştıracak. Kutunun yüksekliği 18 cm ve taban yarıçapı 5 cm'dir. Sadece yan yüzeyi kaplayacak olan bu etiketin alanı ne kadardır? ($\pi \approx 3$ alınız)

270 cm$^2$ 540 cm$^2$ 75 cm$^2$ 690 cm$^2$

7. Bir petrol tankeri, silindir şeklindeki deposunun tamamen dolu olduğunu gösteriyor. Deponun iç çapı 4 metre ve uzunluğu (yüksekliği) 15 metredir. Tankerin taşıdığı petrolün hacmi yaklaşık kaç metreküptür? Bu bilgi, taşıma kapasitesini ve lojistik planlamayı belirler. ($\pi \approx 3.14$ alınız). Hangi bilgiye dikkat edilmeli?

Yaklaşık 188.4 m$^3$; Yarıçapın 2m olduğuna dikkat edilmeli. Yaklaşık 753.6 m$^3$; Yarıçapın 4m olduğuna dikkat edilmeli. Yaklaşık 60 m$^3$; $\pi$ kullanmadan hesaplanmalı. Yaklaşık 94.2 m$^3$; Yanal alan hesaplanmalı.

8. Bir marangoz, 10 cm yarıçapında ve 20 cm yüksekliğinde silindir şeklinde bir kütükten, mümkün olan en büyük hacimli kare prizma şeklinde bir blok yontmak istiyor. Yontma işleminden sonra atılacak olan talaş miktarını minimuma indirmek istiyor. Bu problemin çözümü silindir hacmiyle doğrudan ilgili midir, yoksa başka geometrik ilişkiler mi gerektirir?

Sadece silindir hacmini bilmek yeterlidir. Evet, silindir hacminden prizma hacmi çıkarılır; prizma için taban dairesine içten teğet kare çizilir. Hayır, sadece prizmanın hacmi hesaplanır. Silindirin yüzey alanı hesaplanır.

9. Bir rulo kağıt havlunun içindeki karton rulonun (boşluğun) yarıçapı 2 cm, rulonun toplam yarıçapı ise 6 cm'dir. Rulonun yüksekliği 25 cm olduğuna göre, rulodaki kağıdın hacmi yaklaşık ne kadardır? (İpucu: Büyük silindirin hacminden içteki boş silindirin hacmini çıkarın.) ($\pi \approx 3$ alınız).

2400 cm$^3$ 2700 cm$^3$ 300 cm$^3$ 3000 cm$^3$

10. Bir çiftçi, silindir şeklindeki deposuna mısır dolduruyor. Deponun taban yarıçapı 3 metre ve yüksekliği 8 metredir. Deponun %75'i dolduğunda içinde kaç metreküp mısır olur? ($\pi \approx 3$ alınız). Önce hangi değeri hesaplamak gerekir?

162 m$^3$; Önce deponun tam hacmi ($V=\pi r^2 h$) hesaplanmalıdır. 216 m$^3$; Önce deponun tam hacmi ($V=\pi r^2 h$) hesaplanmalıdır. 54 m$^3$; Önce deponun %25'lik boş kısmı hesaplanmalıdır. 72 m$^3$; Önce deponun yanal alanı hesaplanmalıdır.

Genel Değerlendirme Testi

Silindir konusundaki bilgi ve becerilerinizi ölçmek için aşağıdaki günlük hayat senaryoları üzerine kurulu 20 soruyu dikkatlice cevaplayınız. Tüm soruları yanıtladıktan sonra sonuçları görmek için butona tıklayınız.

1. Bir pastacı, özel bir sipariş için taban yarıçapı 20 cm ve yüksekliği 30 cm olan silindir şeklinde bir pasta yapıyor. Pastanın yan yüzeyini ve üst tabanını çikolatalı krema ile kaplayacaktır. Alt taban tabağa yapışık kalacağı için kaplanmayacak. Pastacının kaplaması gereken toplam alan kaç cm$^2$'dir? ($\pi \approx 3$ alınız).

3600 cm$^2$ (Sadece yanal alan) 1200 cm$^2$ (Sadece üst taban) 4800 cm$^2$ (Yan yüzey + Üst taban) 6000 cm$^2$ (Tüm yüzey alanı)

2. Bir çiftçi, tarlasına yeni aldığı silindir şeklindeki devasa su tankerinin etiketinde hacminin $125\pi$ metreküp olduğunu okuyor. Tankerin yüksekliğinin 5 metre olduğunu bildiğine göre, tankerin taban yarıçapı kaç metredir? Bu bilgi, tankerin ne kadar geniş bir alana oturduğunu anlamasına yardımcı olacaktır.

5 metre 10 metre 12.5 metre 25 metre

3.Bir sanat öğrencisi, 18 cm x 24 cm boyutlarındaki bir mukavvayı, uzun kenarı olan 24 cm'lik kenarı etrafında döndürerek bir silindir modeli oluşturuyor. Bu modelin içine ne kadar hava sığacağını, yani hacmini hesaplamak istiyor. Oluşan silindirin hacmi kaç cm$^3$'tür? ($\pi \approx 3$ alınız).

17496 cm$^3$ 23328 cm$^3$ 1296 cm$^3$ 972 cm$^3$

4. Bir bahçıvan, silindir şeklindeki bir fıçının taban alanının $49\pi$ dm$^2$ olduğunu ölçüyor. Bu fıçının etrafına, tam olarak bir tur atacak şekilde dekoratif bir ip sarmak istiyor. Sarması gereken ipin minimum uzunluğu kaç desimetredir? Bu uzunluk silindirin hangi temel elemanına eşittir?

$7\pi$ dm; Yarıçap $14\pi$ dm; Çevre $49$ dm; Yükseklik $98\pi$ dm; Yanal Alan

5. Bir matbaa, basılacak posterleri rulo haline getirerek silindir şeklinde paketliyor. Rulolardan birinin yüksekliği 80 cm ve taban çevresi $20\pi$ cm'dir. Bu rulonun yan yüzeyini kaplamak için kullanılacak olan ambalaj kağıdının alanı (yani silindirin yanal alanı) kaç cm$^2$'dir?

$800\pi$ cm$^2$ $1600\pi$ cm$^2$ $2000\pi$ cm$^2$ $100\pi$ cm$^2$

6. Bir kimya öğrencisi, deneyinde kullanmak üzere taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 10 cm olan silindir şeklinde bir cam kap kullanıyor. Deney sırasında kabın dış yüzeyinin tamamının (alt, üst ve yan) sıcaklığa dayanıklı özel bir bantla kaplanması gerekiyor. Öğrencinin ihtiyaç duyacağı minimum bant alanı kaç cm$^2$'dir? ($\pi \approx 3$ alınız).

360 cm$^2$ 108 cm$^2$ 468 cm$^2$ 576 cm$^2$

7. Bir örümcek, aşağıdaki diyagramda gösterilen silindir şeklindeki bir varilin dibindeki A noktasından başlayıp, varilin yan yüzeyi üzerinden ilerleyerek, tam A'nın hizasında bulunan kapağın üzerindeki B noktasına ulaşmak istiyor. Varilin yüksekliği 12 birim ve taban çevresi 5 birimdir. Örümceğin alacağı en kısa yol kaç birimdir?

12 birim 13 birim 17 birim $\sqrt{119}$ birim

8. Bir mühendis, tasarladığı silindir şeklindeki bir makine parçasının yüzey alanını hesaplıyor. Yüzey alanı formülü $A = 2\pi r (r + h)$ olarak veriliyor. Formüldeki '$h$' harfi silindirin hangi temel elemanını temsil etmektedir ve bu elemanın tanımı nedir?

Taban Yarıçapı... Yükseklik... Ana Doğru... Eksen...

9. Bir çiftçi, silindir şeklindeki deposunun taban çevresinin $30$ metre ve yüksekliğinin $10$ metre olduğunu biliyor. Deponun yan yüzeyini boyamak için kaç metrekare boyaya ihtiyacı olduğunu hesaplamak istiyor. Boyanacak alan kaç metrekaredir?

$300$ m$^2$ $300\pi$ m$^2$ $150$ m$^2$ $900$ m$^2$

10. Bir su şirketi, damacanalarını silindir şeklinde tasarlamıştır. Bir damacananın hacmi 19 litre (yani 19000 cm$^3$) ve iç yüksekliği 40 cm'dir. Bu damacananın iç taban yarıçapı yaklaşık olarak kaç cm'dir? ($\pi \approx 3$ alınız).

Yaklaşık 12.5 cm Yaklaşık 158 cm Yaklaşık 237 cm Yaklaşık 475 cm

11. Bir marangoz, yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan silindir şeklindeki bir ahşap parçasının sadece yan yüzeyini zımparalayacaktır. Zımparalanacak yüzeyin alanı kaç cm$^2$'dir? ($\pi$ cinsinden bırakınız).

$60\pi$ cm$^2$ $120\pi$ cm$^2$ $170\pi$ cm$^2$ $25\pi$ cm$^2$

12. Taban alanı $64\pi$ cm$^2$ ve hacmi $320\pi$ cm$^3$ olan dik dairesel silindirin yüksekliği kaç cm'dir? Bu soruyu çözmek için hacim ve taban alanı arasındaki ilişkiyi nasıl kullanırsınız?

4 cm... 5 cm... 8 cm... 10 cm...

13. Bir öğrenci, proje için kenar uzunlukları 10 cm olan kare şeklinde bir karton kesiyor. Bu kare kartonu, kenarlarından biri etrafında 360 derece döndürerek bir silindir oluşturuyor. Oluşan silindirin hacmi kaç cm$^3$'tür? ($\pi \approx 3$ alınız).

1000 cm$^3$ 3000 cm$^3$ 1500 cm$^3$ 750 cm$^3$

14. Bir karınca, yüksekliği 20 cm ve taban çevresi 21 cm olan silindir şeklindeki bir sütunun dibindeki A noktasından başlayıp, yan yüzeyden tam bir tur atarak A'nın hizasındaki tepe noktası B'ye ulaşıyor. Karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm'dir? Bu yol hangi özel üçgenin hipotenüsüdür?

21 cm; 20-21-29 üçgeni 29 cm; 20-21-29 üçgeni $\sqrt{20^2-21^2}$ cm; Pisagor farkı 41 cm; Direkt toplam

15. Bir fabrika, ürettiği silindir şeklindeki metal kutuların yüzey alanını minimize ederek malzeme tasarrufu yapmak istiyor. Kutunun hacminin sabit kalması (örneğin $1000\pi$ cm$^3$) koşuluyla, toplam yüzey alanını ($A=2\pi r^2 + 2\pi rh$) en küçük yapacak yarıçap ve yükseklik oranı nedir? Bu optimizasyon problemi hangi matematik dalının konusudur?

Oran $r=h$ olmalı; Konu Geometri. Oran $h=2r$ olmalı; Konu Türev (Optimizasyon). Oran $r=2h$ olmalı; Konu Trigonometri. Oran $h=\pi r$ olmalı; Konu Cebir.

16. Bir kampçı, silindir şeklindeki su matarasına su dolduruyor. Mataranın iç taban yarıçapı 4 cm ve iç yüksekliği 18 cm'dir. Matara tamamen dolduğunda alabileceği suyun hacmi ne kadardır? ($\pi \approx 3$ alınız).

216 cm$^3$ 864 cm$^3$ 288 cm$^3$ 432 cm$^3$

17. Bir roketin yakıt tankı, taban yarıçapı 2 metre ve yüksekliği 10 metre olan bir silindir olarak tasarlanmıştır. Roket fırlatılmadan önce tankın %90'ı özel bir yakıtla dolduruluyor. Depodaki yakıtın hacmi kaç metreküptür? ($\pi \approx 3$ alınız).

120 m$^3$ 108 m$^3$ 60 m$^3$ 133 m$^3$

18. Yüksekliği, taban yarıçapının iki katı olan silindir şeklindeki bir kutunun yanal alanı $100\pi$ cm$^2$ olarak ölçülüyor. Bu kutunun yüksekliği kaç cm'dir? (Önce $h$ yerine $2r$ yazarak $r$'yi, sonra $h$'yi bulun).

5 cm 10 cm $5\pi$ cm $10\pi$ cm

19. Bir mühendis, aşağıdaki kesiti verilen içi boş silindir borunun yalıtımını yapıyor. İç yarıçap $r_1=8$, dış yarıçap $r_2=10$ ve yükseklik $h=20$'dir. Sadece dış yan yüzey ile iç yan yüzey yalıtılacaktır (halkaların yüzeyi hariç). Yalıtılacak toplam alan ne kadardır?

$2\pi r_2 h = 400\pi$ $2\pi r_1 h = 320\pi$ $2\pi (r_2^2 - r_1^2) = 72\pi$ $2\pi r_1 h + 2\pi r_2 h = 720\pi$

20. Bir karınca, taban çevresi 30 cm ve yüksekliği 40 cm olan silindir bir direğin dibindeki A noktasından başlayıp, yan yüzeyden tam 3 tur atarak A'nın hizasındaki B noktasına tırmanıyor. Karıncanın alacağı en kısa yolu hesaplamak için açınım dikdörtgeninde Pisagor teoremi uygulanacaktır. Bu teoremdeki dikey kenar 40 cm ise, yatay kenar kaç cm alınmalıdır?

30 cm (1 tur çevre) 60 cm (2 tur çevre) 90 cm (3 tur çevre) 120 cm (Yükseklik x Tur Sayısı)